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黎曼猜想证明现场 在中国引发关注

2018-09-26 11:41 来源:网络

 

昨日,一场盛况空前的宣讲引爆了数学圈,89 岁的阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明吸引了全球的关注。也因为关注人数过多,现场直播「车祸」不断:官方直播流崩溃,组织方不得不改用手机直播。

前期的手机直播质量奇差,声音和 PPT 内容都不清晰,导致一些读者(包括我们)漏掉了许多内容。

数小时前,Heidelberg Laureate Forum 2018 官方终于在 YouTube 上放出阿蒂亚爵士的高清演讲视频,短短数个小时已经有近 5 万次观看。

 

关于阿蒂亚爵士的证明

黎曼猜想关注的是素数分布的问题,而素数指的是在大于 1 的自然数中,除了 1 和该数自身外,无法被其他自然数整除的数。之所以素数这么重要,是因为它在密码学中有非常广泛的应用,我们需要很大的素数作为分解质因数的元素才能保护信息。但是很快人们就发现,素数是没有分布的,也就是说,我们无法根据某个分布寻找非常大的素数,素数是随机的。

如果黎曼猜想被证明是正确的,那么它就表明素数没有什么突出的规律,也就是说它们几乎具有均匀的随机性。如果黎曼猜想得到证明,它可以说是验证了从 1 到 n 中平均有 N/ln(N) 个素数,因此素数基本上是按照 N/ln(N) 的均匀分布。注意这里的 N/ln(N) 只是代表我们机器学习中常见的数学期望,并不能说确切地等于 N/ln(N) 个素数。总之如果 Atiyah 证明了黎曼猜想,那么素数还必须服从大数定理,这可能对于统计学和机器学习的研究能有一些帮助。

Atiyah 的证明从理解物理学中的精细结构常数 α 出发,并发现依靠新的函数 T(s)(也就是 Todd 函数),我们可以解决或至少为解决各种广泛的问题提供新方向,包括黎曼猜想。在整个演讲中,Atiyah 首先介绍了复数的不可交换延伸:四元数(Quarternions)、复数、扩展欧拉公式到四元数(Euler-Hamilton 公式)这些基础概念,它们是进一步提出新工具和证明方法的前提。

随后 Atiyah 重点介绍了证明黎曼猜想的核心新工具,即 Todd 多项式函数,借助这一函数与指数的无限迭代,我们可以理解精细结构常数 α 并尝试最终的黎曼猜想证明。其中精细结构常数 α 是物理学中的无量纲常数,它展示了原子物理学中原子谱线分裂的样式。

对于证明黎曼猜想的核心 Todd function T(s) 函数,Atiyah 在文档中给出了一些有趣的属性:

  • T 是实数,即 T(s¯ ) = T(s)¯;
  • T(1) = 1;
  • T 会将临界带映射到临界带,临界线映射到临界线。

Atiyah 将 Todd 函数称为弱解析函数,这意味着它是解析函数族的弱限制。所以对于任何复数中的紧致集 K,T 都是解析的。如果 K 是凸集,那么 T 是自由度为 K(k) 的多项式函数。Todd 函数同样是复合的,即弱解析函数的解析函数还是解析函数。

对于如何借助 Todd 函数证明黎曼猜想,读者还是研读那一页 PPT 吧:

这就是阿蒂亚爵士证明黎曼猜想的一页 PPT

尴尬的 QA 环节

在阿蒂亚爵士 45 分钟宣讲结束后,组织方安排了问答环节。但人气爆棚的现场到了 QA 环节却一度陷入尴尬:主持人强调不要害羞、大胆提问,但却无人应答,阿蒂亚爵士唯有扬手「come on」。

冷场近一分钟,一位印度口音的的小哥(来自人工智能领域,非数学背景)提出了第一个问题:是否解决了黎曼猜想?

阿蒂亚回应说,「这是由你的逻辑决定的。原始的黎曼猜想我是证明了,除非你是那种不接收反证法的数学家。」

他表示,人们倾向于接受直接事实,但我们的一些定理是反证法证明的,所以我认为我可当此荣誉。但他也补充说,其证明没有解决所有问题,后续还有很多问题,自己只是走了第一步(第一步就是解决方案),现在可以退休了。

第二个问题:什么时候可以查看公开证明?

阿蒂亚表示,其实他已经写了多篇论文,最长的一篇是关于精细结构常数。但发表不易,因为到了他这个年纪,人们(杂志)就不再发表他的论文,年纪太大了,而且肯定有错。

但论文是可以看到的。一份是关于精细结构常数的,另一份正是昨天上午流传的「5 页预印版」论文。

阿蒂亚爵士也解开了这两份论文为什么用谷歌文档这样不正式的方式传播,「我甚至提交到了 arXiv 上,但它们不接收。」(尴尬)年龄歧视啊!

第三个问题:你曾说没人相信黎曼猜想的任何证明,因为没人证明了它。你认为人们会相信你吗?或者说你不在乎?

阿蒂亚说他确实在乎相信此证明的人,因为有人曾说过数学或者科学一般涉及两个步骤:创造与传播。如果你不宣传自己的想法,就没人知道。此外,一般人们不相信证明可能是因为它是全新的想法。

学界反应悲观

在阿蒂亚的简短证明播出之后,学界对此评价稍显冷淡。人们纷纷表达了对于证明黎曼猜想的悲观看法,同时也表示了对阿蒂亚以往巨大贡献的尊敬。无论如何,这种复杂的感情似乎在告诉数学圈外的我们:人类距离搞清楚这一「世纪猜想」还有一段距离。

「他在演讲中所展示的内容几乎不可能成为能够证明黎曼猜想的任何证据,」来自挪威科技大学的经济学家 Jørgen Veisdal 表示,他此前也曾研究过黎曼猜想。「他的证明太过模糊,也太不具体了。」Veisdal 表示,他还需要更仔细地研究目前的证明,以得出更加明确的判断。

《Science》在这位著名数学家演讲后联系到了他的几位同事。他们对于当事人给出的、基于不可靠关联而得出的结论感到担忧,并表示这次证明黎曼猜想的努力最终未能成功。但目前,因为顾及到关系,还没有同事或学生愿意公开提出批评。

加州大学河滨分校(University of California, Riverside)的数学物理学家 John Baez 是少数几个愿意对阿蒂亚的主张发表批评意见的人之一。「该证明只是将一个大胆的主张叠加在另一个之上,没有任何关联的论证和真正的证据。」Baez 说道。

对于各方的批评,阿蒂亚早有预料。他在演讲之前的一封电子邮件中就表示:「演讲的观众中会有睿智的年轻学者,以及经验丰富的老科学家。我要做的是把自己抛入狮群之中,希望能够全身而退。」

在数学论坛 MathOverflow 上,人们对于阿蒂亚爵士的证明也普遍持悲观态度。Todd Trimble 表示:「在过去的五十多年里,阿蒂亚为数学界所做的贡献无人能出其右,但今天他的证明『甚至不能说它是错误(not even wrong)』。正是出于这个原因,鉴于他的划时代贡献,他应该获得足够的尊严。」

也就是说,一些学者认为阿蒂亚的证明思路成功的概率很低,同时也没有经过完整的证明(至少目前还没有公开细节),从而谈不上探讨正确与错误。

又有知乎网友称,今天早上,清华大学数学系前系主任肖杰在一节代数课上对阿蒂亚的证明给出了自己的评价:「如果他那是对的,数学就完蛋了。」

尽管如此,人们还是表达了对于这位「二战后最强数学家」的敬仰之情:「He's still my hero.」

9月26日消息,据悉昨日,一场盛况空前的宣讲引爆了数学圈,89岁的阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明吸引了全球的关注。也因为关注人数过多,现场直播「车祸」不断:官方直播流崩溃,组织方不得不改用手机直播。40分钟后,89岁的阿蒂亚爵士完成了他全球瞩目的黎曼猜想证明演讲,现场听众报以10多秒的掌声。

  据了解,黎曼猜想关注的是素数分布的问题,而素数指的是在大于1的自然数中,除了1和该数自身外,无法被其他自然数整除的数。之所以素数这么重要,是因为它在密码学中有非常广泛的应用,我们需要很大的素数作为分解质因数的元素才能保护信息。但是很快人们就发现,素数是没有分布的,也就是说,我们无法根据某个分布寻找非常大的素数,素数是随机的。

  据说如果黎曼猜想被证明是正确的,那么它就表明素数没有什么突出的规律,也就是说它们几乎具有均匀的随机性。如果黎曼猜想得到证明,它可以说是验证了从 1 到 n 中平均有 N/ln(N) 个素数,因此素数基本上是按照 N/ln(N) 的均匀分布。注意这里的 N/ln(N) 只是代表我们机器学习中常见的数学期望,并不能说确切地等于 N/ln(N) 个素数。总之如果 Atiyah 证明了黎曼猜想,那么素数还必须服从大数定理,这可能对于统计学和机器学习的研究能有一些帮助。

  然而我们观察到黎曼猜想在中国引发的关注与讨论更大。

  在阿蒂亚的简短证明播出之后,学界对此评价稍显冷淡。人们纷纷表达了对于证明黎曼猜想的悲观看法,同时也表示了对阿蒂亚以往巨大贡献的尊敬。无论如何,这种复杂的感情似乎在告诉数学圈外的我们:人类距离搞清楚这一「世纪猜想」还有一段距离